전자공학에서 필터 회로의 성능을 결정하는 핵심 요소 중 하나인 **차단 주파수(Cutoff Frequency)**는 회로의 주파수 응답 특성이 변하는 경계점을 나타냅니다. 특히 가장 기본적이면서도 널리 사용되는 RC 필터 회로에서 차단 주파수의 개념을 이해하고 그 공식을 정확히 유도하는 것은 회로 설계의 기초가 됩니다. 이 포스팅에서는 1차 RC 회로(저역 통과 필터 및 고역 통과 필터)를 중심으로 차단 주파수의 정의, 중요성, 그리고 상세한 공식 유도 과정을 단계별로 설명합니다.
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차단 주파수는 필터가 입력 신호의 전력을 절반(−3 dB)으로 감쇠시키는 지점의 주파수로 정의됩니다. 이 주파수를 기준으로 회로가 신호를 통과시키거나 차단하는 특성이 명확히 구분됩니다. RC 회로에서 이 주파수는 저항 R과 커패시터 C의 값에 의해 결정되며, $f_c = \frac{1}{2\pi RC}$라는 간단하면서도 강력한 공식으로 표현됩니다. 이 공식 유도를 통해 회로의 동작 원리를 깊이 이해하고 실제 필터 설계에 적용하는 방법을 알아보겠습니다.
RC 저역 통과 필터 차단 주파수 공식 유도 확인하기
저역 통과 필터(Low-Pass Filter, LPF)는 낮은 주파수 성분은 통과시키고 높은 주파수 성분은 감쇠시키는 필터입니다. 1차 RC LPF는 저항(R)과 커패시터(C)를 직렬로 연결하고 커패시터 양단에서 출력 전압(V
out
)을 측정하는 구조로 되어 있습니다. RC 저역 통과 필터의 핵심은 주파수가 높아질수록 커패시터의 리액턴스(X
C
)가 작아져서 출력 전압이 감소한다는 점입니다.
회로의 전달 함수 $H(\omega)$는 출력 전압 $V_{out}$과 입력 전압 $V_{in}$의 비로 정의되며, 주파수 ω의 함수입니다. 여기서 ω=2πf (단위: rad/s)이고, 커패시터의 임피던스는 $Z_C = \frac{1}{j\omega C}$입니다.
전압 분배 법칙을 사용하여 전달 함수를 유도하면 다음과 같습니다:
H(ω)=
V
in
V
out
=
R+Z
C
Z
C
=
R+
jωC
1
jωC
1
분자 분모에 jωC를 곱하여 정리하면:
H(ω)=
1+jωRC
1
차단 주파수 f
c
는 필터의 이득(Gain), 즉 전달 함수의 크기가 최대 이득(\text{DC}$에서 $\left| H(0) \right| = 1$)의 $\frac{1}{\sqrt{2}}$배($\approx 0.707$)가 되는 지점의 주파수로 정의됩니다. 이는 전력이 절반($-3\text{ dB})이 되는 지점과 같습니다.
전달 함수의 크기 $\left| H(\omega) \right|$는 다음과 같이 계산됩니다:
∣H(ω)∣=
1+jωRC
1
=
1
2
+(ωRC)
2
1
차단 주파수 ω
c
(=2πf
c
)에서 $\left| H(\omega_c) \right| = \frac{1}{\sqrt{2}}$이므로:
1+(ω
c
RC)
2
1
=
2
1
양변을 제곱하고 역수를 취하면:
1+(ω
c
RC)
2
=2
(ω
c
RC)
2
=1
ω
c
RC=1
따라서 차단 각주파수는 ω
c
=
RC
1
이며, 일반 주파수 f
c
로 변환하면:
f
c
=
2π
ω
c
=
2πRC
1
이것이 RC 저역 통과 필터의 차단 주파수 공식입니다. 이 공식은 RC 시정수 τ=RC와 역의 관계를 가집니다. 즉, 시정수가 짧을수록 차단 주파수는 높아집니다.
RC 고역 통과 필터 차단 주파수 공식 유도 상세 더보기
고역 통과 필터(High-Pass Filter, HPF)는 높은 주파수 성분은 통과시키고 낮은 주파수 성분은 감쇠시키는 필터입니다. 1차 RC HPF는 저항(R)과 커패시터(C)를 직렬로 연결하고 저항 양단에서 출력 전압(V
out
)을 측정하는 구조로 되어 있습니다. RC 고역 통과 필터의 경우, 주파수가 낮아질수록 커패시터의 리액턴스(X
C
)가 커져서 대부분의 전압이 커패시터에 걸리고 출력 전압(V
out
)은 감소하게 됩니다.
RC HPF의 전달 함수 $H(\omega)$는 다음과 같습니다:
H(ω)=
V
in
V
out
=
R+Z
C
R
=
R+
jωC
1
R
분자 분모에 $\frac{j\omega C}{R}$를 곱하여 정리하면:
H(ω)=
jωCR+1
jωCR
=
1+jωRC
jωRC
마찬가지로 차단 주파수 ω
c
(=2πf
c
)는 전달 함수의 크기가 최대 이득(High 주파수에서 ∣H(∞)∣=1)의 $\frac{1}{\sqrt{2}}$배가 되는 지점입니다.
전달 함수의 크기 $\left| H(\omega) \right|$는 다음과 같이 계산됩니다:
∣H(ω)∣=
1+jωRC
jωRC
=
1
2
+(ωRC)
2
ωRC
차단 주파수 ω
c
에서 $\left| H(\omega_c) \right| = \frac{1}{\sqrt{2}}$이므로:
1+(ω
c
RC)
2
ω
c
RC
=
2
1
양변을 제곱하여 정리하면:
1+(ω
c
RC)
2
(ω
c
RC)
2
=
2
1
2(ω
c
RC)
2
=1+(ω
c
RC)
2
(ω
c
RC)
2
=1
저역 통과 필터와 동일하게 ω
c
RC=1이 도출됩니다. 따라서 차단 각주파수는 ω
c
=
RC
1
이며, 일반 주파수 f
c
로 변환하면:
f
c
=
2π
ω
c
=
2πRC
1
놀랍게도 RC 고역 통과 필터의 차단 주파수 공식은 저역 통과 필터와 완전히 동일합니다. 이는 RC 회로에서 R과 C의 역할이 바뀌더라도 임피던스의 비율이 전력을 절반으로 감쇠시키는 지점을 결정하는 방식은 동일하기 때문입니다. 회로 설계 시 R과 C 값을 정하면 f
c
가 결정된다는 점을 기억해야 합니다.
차단 주파수와 보드 선도(Bode Plot)의 관계 확인하기
차단 주파수의 개념은 필터의 주파수 응답을 시각적으로 나타내는 보드 선도(Bode Plot)에서 더욱 명확해집니다. 보드 선도는 주파수에 따른 필터의 이득(크기 응답)과 위상(위상 응답)을 로그 스케일로 나타낸 그래프입니다. 필터의 이득은 보통 데시벨(dB) 단위로 표현합니다.
데시벨 이득(Gain
dB
)은 다음과 같이 정의됩니다:
Gain
dB
=20log
10
∣H(ω)∣
차단 주파수 f
c
에서는 $\left| H(\omega_c) \right| = \frac{1}{\sqrt{2}}$이므로, 이 지점에서의 이득은:
Gain
dB
=20log
10
(
2
1
)=20log
10
(2
−1/2
)=20×(−
2
1
)log
10
(2)≈−3.01 dB
따라서 차단 주파수는 보드 선도에서 이득이 최대 통과 대역 이득(0 dB)보다 정확히 3 dB 감소하는 지점(−3 dB 지점)으로 나타납니다. 이 지점은 통과 대역(Passband)과 감쇠 대역(Stopband)의 경계를 구분하는 기준점으로 사용되며, 회로 설계자가 필터의 성능을 검증하고 조정하는 데 필수적인 정보입니다.
보드 선도에서 저역 통과 필터는 f
c
이후 주파수가 10배 증가할 때마다 이득이 $-20\text{ dB}$씩 감소(1차 필터의 경우)하는 기울기를 보입니다. 고역 통과 필터는 f
c
이전 주파수가 10배 감소할 때마다 이득이 $-20\text{ dB}$씩 감소하는 기울기를 보입니다. 이러한 특성은 실제 회로의 주파수 선택성을 이해하는 데 매우 중요합니다.
차단 주파수 공식의 실제 설계 적용 확인하기
차단 주파수 공식 $f_c = \frac{1}{2\pi RC}$는 RC 필터 회로 설계의 가장 기본이 되는 도구입니다. 이 공식을 이용하면 원하는 차단 주파수에 맞추어 적절한 R과 C 값을 선택할 수 있습니다. 실제 설계 과정에서는 원하는 필터의 차단 주파수(f
c
)를 먼저 정하고, 그 다음 R 또는 C 값 중 하나를 임의로 선택하여 나머지 값을 계산하는 방식을 사용합니다. 예를 들어, 잡음 제거를 위해 $1\text{ kHz}$의 차단 주파수를 갖는 저역 통과 필터를 설계한다고 가정해 봅시다.
원하는 차단 주파수 $f_c = 1\text{ kHz}$를 공식에 대입하면:
1000=
2πRC
1
만약 표준 저항 값으로 R=10 kΩ(10×10
3
Ω)을 선택한다면, 필요한 커패시터 C 값은 다음과 같이 계산됩니다:
C=
2π×1000×10×10
3
1
=
2π×10
7
1
≈1.59×10
−8
F
즉, 약 $15.9\text{ nF}$의 커패시터가 필요합니다. 실제 설계에서는 계산된 값에 가장 가까운 표준 커패시터 값을 선택하고, 필요하다면 R 값을 미세 조정하여 정확한 f
c
를 맞춥니다. 이러한 과정을 통해 차단 주파수 공식은 이론과 실제 회로를 연결하는 다리 역할을 합니다.
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RC 회로의 위상 지연 및 시정수 관계 상세 더보기
RC 회로는 주파수 응답의 크기 변화 외에도 위상 변화(Phase Shift)를 유발합니다. 저역 통과 필터의 경우, 차단 주파수 f
c
에서 출력 신호의 위상은 입력 신호에 비해 −45
∘
지연됩니다. 고역 통과 필터의 경우, f
c
에서 출력 신호의 위상은 입력 신호에 비해 +45
∘
앞섭니다.
위상 지연 $\phi(\omega)$는 전달 함수 $H(\omega)$의 허수부를 실수부로 나눈 값의 아크탄젠트(arctan)로 정의됩니다. LPF의 경우:
ϕ
LPF
(ω)=−arctan(ωRC)
HPF의 경우:
ϕ
HPF
(ω)=90
∘
−arctan(ωRC)=arctan(
ωRC
1
)
차단 주파수 $\omega_c = \frac{1}{RC}$에서 ω
c
RC=1이므로:
ϕ
LPF
(ω
c
)=−arctan(1)=−45
∘
ϕ
HPF
(ω
c
)=arctan(1)=45
∘
또한, 차단 주파수 공식 $f_c = \frac{1}{2\pi RC}$는 RC 회로의 시간 영역 응답을 지배하는 **시정수 τ=RC**와 직접적으로 연결됩니다. 시정수는 직류 전압이 인가되었을 때 커패시터가 최종 전압의 약 $63.2%$까지 충전되는 데 걸리는 시간을 나타냅니다. 시정수가 짧을수록 회로가 더 빠르게 반응하고, 주파수 영역에서는 차단 주파수가 높아져 더 넓은 대역폭을 갖게 됩니다. 이처럼 주파수 영역과 시간 영역의 특성은 τ와 f
c
를 통해 상호 보완적으로 이해될 수 있습니다.
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자주 묻는 질문 (FAQ)
Q1: 차단 주파수 f
c
가 정확히 −3 dB 지점인 이유는 무엇인가요?
차단 주파수는 필터의 전력이 절반(
2
1
)이 되는 지점으로 정의됩니다. 전력 비를 데시벨(dB)로 환산하는 공식은 $10 \log_{10} \left( \frac{P_{out}}{P_{in}} \right)$인데, $\frac{1}{2}$을 대입하면 $10 \log_{10} \left( \frac{1}{2} \right) \approx -3.01\text{ dB}$가 됩니다. 전력은 전압의 제곱에 비례하므로, 전압 비는 $\frac{1}{\sqrt{2}}$이 되고, 이를 $20 \log_{10} \left( \frac{V_{out}}{V_{in}} \right)$로 환산해도 같은 $-3\text{ dB}$가 나옵니다. 따라서 $-3\text{ dB}$는 회로의 통과 대역 전력이 절반으로 감소하는 경계를 의미하며, 필터 성능을 구분하는 표준 기준점으로 사용됩니다.
Q2: RC 회로에서 R과 C 값이 차단 주파수에 미치는 영향은 무엇인가요?
차단 주파수 공식 $f_c = \frac{1}{2\pi RC}$에서 알 수 있듯이, 저항 R 또는 커패시턴스 C 값이 커지면 차단 주파수 f
c
는 반비례하여 낮아집니다. R이나 C가 커지면 RC 시정수 τ=RC가 길어지게 되고, 이는 회로가 신호 변화에 더 느리게 반응함을 의미합니다. 주파수 영역에서는 이 “느린 반응”이 낮은 주파수에서 신호를 차단하거나 통과시키는 결과로 나타나게 됩니다.
Q3: 2차 RC 필터의 차단 주파수 공식 유도도 동일한가요?
아닙니다. 2차 이상의 필터(예: RCRC 회로)는 두 개 이상의 에너지 저장 요소(C)를 포함하므로 전달 함수가 1차 필터보다 복잡해집니다. 2차 필터는 일반적으로 f
c
이후 $-40\text{ dB}/\text{decade}$의 더 가파른 감쇠율을 가지며, 차단 주파수 f
c
를 정의하는 공식도 더 복잡합니다. 하지만 가장 일반적인 버터워스(Butterworth) 필터와 같은 특정 설계에서는 1차 필터의 공식을 변형하여 사용하거나, 감쇠율이 −3 dB 지점이 아닌 다른 지점을 기준으로 설계하기도 합니다. 1차 필터의 $f_c = \frac{1}{2\pi RC}$는 가장 간단한 필터의 기본 공식입니다.